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Grupo de Matemáticas



Problemas de olimpiada matemática

Alan
Enfermeria gral. cetis 146
Escrito por Alan Aguilar
el 04/08/2009 | Nivel Medio

Ayudenme a resolver estos problemas, aunque estos fueron parte de algunas de las fases de las olimpiadas en que participé aun tengo dudas en ellos, espero me ayuden... Gracias



A)
Se quieren hacer tarjetas con los números del 000 al 999. Sin embargo, hay tarjetas que representan a 2 números a la vez. Por ejemplo, la 618 se voltea de cabeza y es la 816. Los digitos 0.1.6.8. Y 9 son los unicos que tienen sentido al voltearse. ¿Cuántas tarjetas se van a tener que hacer?

B)
Un número capicua es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (77, 12421, etc... ) Si escribimos de manera consecutiva todos los numeros capicúa

123456789112233...

¿Cuál es el digito en la posición 2009?

C)
¿Cuántos números de 10 cifras tienen todas sus cifras diferentes de cero y son divisibles entre 99999?


D)
Sara y Daniela tiene un juego en donde la moneda es el dipso y hay billetes de 1,2,3,4,5,6,7 y 8 dipsos. En una tienda, las niñas se ganaron un premio compartido con un billete de cada valor. ¿De cuántas formas se pueden repartir los billetes de manera que cada niña tenga el mismo dinero?

Japmsn San
Ingenieria civil industrial universida...
Escrito por Japmsn San
el 20/10/2009 | Nivel Medio

- editado -

Muchas gracias saul, al señalarme el 018 me di cuenta que me faltaban muchos, lo revise y obtuve 110 numeros que se repiten asi que el resultado confirmado es 945 tal como dijiste.

En cuanto a B entiendo lo que dices va desfasado por uno asi que corresponde 27072 y no 27172 como yo sugeri.

Revise el programa que hice para C y habia cometido un error increible, considere 9*10**9 como el numero mas pequeño de 10 cifras jajja corregi ese 'detalle' xD y me dio exactamente 32769, excelente trabajo Saul,

Saludos.

Escrito por Diego Fernando Molina Barahona
el 21/10/2009 | Nivel Medio

Buenos días

He hecho el ejercicio eliminando primero todas las partidas que de alguna forma me representan una sola tarjeta, y despues la diferencia se divide entre dos llegando a un total de 942 tarjetas. Valdría la pena replantear la formula.

Japmsn San
Ingenieria civil industrial universida...
Escrito por Japmsn San
el 21/10/2009 | Nivel Medio

Que tal Diego, a que te refieres con replantear la formula?

El planteamiento de Saul es correcto. Yo lo hice mediante un algoritmo y obtuve el mismo resultado (a la segunda xD)

Aqui esta la salida para que la revises, si encuentras algo raro me avisas:

000 => 000, repiten 0
001 => 100, repiten 1
006 => 900, repiten 2
008 => 800, repiten 3
009 => 600, repiten 4
010 => 010, repiten 4
011 => 110, repiten 5
016 => 910, repiten 6
018 => 810, repiten 7
019 => 610, repiten 8
060 => 090, repiten 9
061 => 190, repiten 10
066 => 990, repiten 11
068 => 890, repiten 12
069 => 690, repiten 13
080 => 080, repiten 13
081 => 180, repiten 14
086 => 980, repiten 15
088 => 880, repiten 16
089 => 680, repiten 17
090 => 060, repiten 18
091 => 160, repiten 19
096 => 960, repiten 20
098 => 860, repiten 21
099 => 660, repiten 22
100 => 001, repiten 23
101 => 101, repiten 23
106 => 901, repiten 24
108 => 801, repiten 25
109 => 601, repiten 26
110 => 011, repiten 27
111 => 111, repiten 27
116 => 911, repiten 28
118 => 811, repiten 29
119 => 611, repiten 30
160 => 091, repiten 31
161 => 191, repiten 32
166 => 991, repiten 33
168 => 891, repiten 34
169 => 691, repiten 35
180 => 081, repiten 36
181 => 181, repiten 36
186 => 981, repiten 37
188 => 881, repiten 38
189 => 681, repiten 39
190 => 061, repiten 40
191 => 161, repiten 41
196 => 961, repiten 42
198 => 861, repiten 43
199 => 661, repiten 44
600 => 009, repiten 45
601 => 109, repiten 46
606 => 909, repiten 47
608 => 809, repiten 48
609 => 609, repiten 48
610 => 019, repiten 49
611 => 119, repiten 50
616 => 919, repiten 51
618 => 819, repiten 52
619 => 619, repiten 52
660 => 099, repiten 53
661 => 199, repiten 54
666 => 999, repiten 55
668 => 899, repiten 56
669 => 699, repiten 57
680 => 089, repiten 58
681 => 189, repiten 59
686 => 989, repiten 60
688 => 889, repiten 61
689 => 689, repiten 61
690 => 069, repiten 62
691 => 169, repiten 63
696 => 969, repiten 64
698 => 869, repiten 65
699 => 669, repiten 66
800 => 008, repiten 67
801 => 108, repiten 68
806 => 908, repiten 69
808 => 808, repiten 69
809 => 608, repiten 70
810 => 018, repiten 71
811 => 118, repiten 72
816 => 918, repiten 73
818 => 818, repiten 73
819 => 618, repiten 74
860 => 098, repiten 75
861 => 198, repiten 76
866 => 998, repiten 77
868 => 898, repiten 78
869 => 698, repiten 79
880 => 088, repiten 80
881 => 188, repiten 81
886 => 988, repiten 82
888 => 888, repiten 82
889 => 688, repiten 83
890 => 068, repiten 84
891 => 168, repiten 85
896 => 968, repiten 86
898 => 868, repiten 87
899 => 668, repiten 88
900 => 006, repiten 89
901 => 106, repiten 90
906 => 906, repiten 90
908 => 806, repiten 91
909 => 606, repiten 92
910 => 016, repiten 93
911 => 116, repiten 94
916 => 916, repiten 94
918 => 816, repiten 95
919 => 616, repiten 96
960 => 096, repiten 97
961 => 196, repiten 98
966 => 996, repiten 99
968 =

Japmsn San
Ingenieria civil industrial universida...
Escrito por Japmsn San
el 21/10/2009 | Nivel Medio

...

968 => 896, repiten 100
969 => 696, repiten 101
980 => 086, repiten 102
981 => 186, repiten 103
986 => 986, repiten 103
988 => 886, repiten 104
989 => 686, repiten 105
990 => 066, repiten 106
991 => 166, repiten 107
996 => 966, repiten 108
998 => 866, repiten 109
999 => 666, repiten 110

...

En total 110 tarjetas al invertirse reemplazan a otra tarjeta, por lo que la respuesta es 1000 - 110/2 = 945


Saludos.

Escrito por Diego Fernando Molina Barahona
el 22/10/2009 | Nivel Medio

Hola buenos días, inicie tomando los rangos que solo podían contener un valor, porque incluyen números que no se pueden girar; para eso tome en cuenta el primer digito y quite los siguientes rangos:
200.. 299
300.. 399
400.. 499
500.. 599
700.. 799
Hasta allí tengo 500 tarjetas que no puedo girar y solo me representan un número. Segundo paso tomo rangos mas pequeños para mirar el segundo digito (dentro de los rangos sobrantes del 1° paso) de esta forma quito los siguientes rangos:
020.. 029
030.. 039
040.. 049
050.. 059
070.. 079
Como esta misma condición se repite para los números que inician por 1,6,8 y 9 entonces tengo 250 tarjetas mas que no puedo girar y solo me representan un número; hasta este momento tengo 750 tarjetas.
Como tercer paso; tomo rangos mas pequeños para evaluar el tercer digito, de esta forma quito los siguientes números:
002
003
004
005
007
Como esta condición tambien se repite en los rangos de 2° número 1,6,8 y 9 y los mismos números para los rangos de 1° digito (5X5X5) tenemos 125 tarjetas mas que no puedo girar y solo me representan un número; completamos 875 tarjetas.
Finalmente, de los números que me sobran buscaré aquellos que se repiten al girarlos, es decir, aquellos que su 1° y 3° digito, son iguales. Sin embargo, aqui debemos tener en cuenta que de nuestra lista el número 6 al girarlo se convierte en un 9 y viceverza, por lo tanto solo puedo sacar los siguientes números:
000
010
080
101
111
181
808
818
888
Vuelvo y repito; como los números que contienen 6 al girarlos se convierten en nueve, no los puedo tener en cuenta porque cada tarjeta me representa dos números; ej. 060 al girarlo tengo 090. De este rango de número tengo 9 tarjetas mas que solo me representan 1 número. En total tengo que hacer 884 tarjetas. Las demás tarjetas me representan dos números entonces 1000 - 884 = 116; esos 116 números equivalen a 116/2 = 58 tarjetas.

En total se deben fabricar 884 + 58 = 942 tarjetas. Espero que de esta forma sea mas clara mi explicación.

Escrito por Diego Fernando Molina Barahona
el 22/10/2009 | Nivel Medio

Por otro lado, en el listado que me mandaste me dices que el 010 al cambiarlo es 010, por lo tanto tienen el mismo valor y equivaldría a una sola carta, lo mismo ocurre con el 080, deberías quitarlas de ese listado, asumo que lo mismo pasa con el 101

Japmsn San
Ingenieria civil industrial universida...
Escrito por Japmsn San
el 22/10/2009 | Nivel Medio

El listado lo que hace es tomar todos los valores que se pueden girar y analiza cuales reemplazan a otra tarjeta, en caso de que reemplazen, suman 1 al contador 'repite' y si no se mantiene igual El 010 y 080 pertenecen a la lista porque se pueden girar, pero no aumentan al contador porque se repiten a si mismos y no reemplazan otra tarjeta.

Ahora tengo que ir a comer pero luego leere con detencion el resto que escribiste, saludos.


-edit-

Termine de leer y ya veo donde esta el error Diego, todo tu analisis aunque un poco complejo esta bien hasta el 500+250+125, el unico problema lo tuviste al final al detectar los que se repetian a si mismos porque dejaste fuera los que comienzan con 6 y 9 pensando en que 6X6 y 9X9 no son iguales al voltearse, pero falto la posibilidad 6X9 y 9X6 lo que agrega los siguientes numeros:

609, 619, 689, 906, 919 y 989, esos 6 mas los 9 indicados por ti hacen 15, asi sumas 875 + 15 = 890, por lo que obtienes (1000-890)/2 = 110/2 = 55


Saludos.

Escrito por Diego Fernando Molina Barahona
el 22/10/2009 | Nivel Medio

Hola, ya encontre mi error... Los números que combinan el 6 y 9 como 1° y 3° digito, tambien siguen valiendo lo mismo, allí estban los 6 números que me faltaban.
609
619
689
906
916
986
De todas formas gracias... Ha sido un ejercicio muy interesante

Japmsn San
Ingenieria civil industrial universida...
Escrito por Japmsn San
el 22/10/2009 | Nivel Medio

Jajaja eso mismo Diego veo que lo pillamos casi al mismo tiempo, asi es fue muy interesante, saludos.


@Saul, como se ve que eres bastante entendido en matematicas aprovecho de preguntarte si tal vez tu o algun profesor tuyo conoce algun metodo o formula para resolver un problema del siguiente tipo,

***********************************************************************

Dado (3X + y + raiz(z) + w)^34 encuentre:

A) Las sumatorias que definen los terminos

B) Halle el numero de terminos

C) Encuentre el termino en que el exponente de X es 24, el de Z es 2 y el de W el doble de Y.

D) Encuentre el termino 373.

***********************************************************************

Es decir algo como el teorema del binomio pero extendido a cualquier polinomio, busco y no encuentro pero quiero estar seguro de que no existe, gracias.


Japmsn San
Ingenieria civil industrial universida...
Escrito por Japmsn San
el 23/10/2009 | Nivel Medio

Respecto de la D termine calculandolo asi,

Del 1 a 8 suman 36, los numeros deben formar dos grupos que sumen 18 cada uno. Considerando que la suma de los dos numeros mas grandes (8 y 7) es 15, pense hacer un descarte de la siguiente forma:

Si 8 y 7 estan juntos, me faltan 3 para sumar 18:

» (8 + 7) + 3

» (8 + 7) + 2 + 1

El resto de las opciones obliga a tener 8 y 7 en grupos separados, tomare el grupo en que se encuentra 8, por lo que me faltan 10 para sumar los 18.

» (8) + 6 + 4

» (8) + 6 + 3 + 1

» (8) + 5 + 4 + 1

» (8) + 5 + 3 + 2

» (8) + 4 + 3 + 2 + 1

Ya no me es posible seguir reduciendo, en total obtuve 7 formas de dividir el dinero, y considerando que para cada division se forman dos grupos [el mostrado y el que se genera con los numeros no utilizados (ej. (8 + 7 + 3) => (6 + 5 + 4 + 2 + 1))], significa que se puede repartir de 14 formas diferentes.

PD. Tampoco es una respuesta formal sino a 'mano', pero no se me ocurrio nada mas.

Japmsn San
Ingenieria civil industrial universida...
Escrito por Japmsn San
el 23/10/2009 | Nivel Medio

Genial Saul, yo tengo una formula y tu idea va muy bien dirigida hacia alli, lo que sucede es que no he visto dobles sumatorias y la formula que tengo implica varias, que funcionan casi como ciclos en programacion. Te mandare un archivo para que lo veas y espero me puedas comentar al respecto, saludos.