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Grupo de Geometría



Problema geométrico de olimpíadas matemáticas

Cecilia
Buenos Aires, Argent...
Escrito por Cecilia Esghe
el 17/09/2009 | Nivel Medio

Enunciado: "Sea C la circunferencia unitaria centrada en el origen de R dos. Determine el mayor valor posible para el radio de la circunferencia inscripta al triángulo OAP donde P pertenece a la circunferencia y A es la proyección de P sobre el eje OX".

No me doy cuenta como resolverlo, espero alguien me pueda ayudar. Gracias!

Hector Pabon
Ingenieria de sistemas universidad dis...
Escrito por Hector Pabon
el 03/11/2009 | Nivel Medio

En lo que hice aquí rápidamente, si interpreté bien el problema, la respuesta es: sqrt(3)/2

Hector Pabon
Ingenieria de sistemas universidad dis...
Escrito por Hector Pabon
el 03/11/2009 | Nivel Medio

Perdóname, interpreté mal el problema. Debo hacerlo más despaciosamente!

Carlos Napoleón Paredes Escobar
Cienciad de la educacion universidad t...
Escrito por Carlos Napoleón Paredes Escobar
el 04/11/2009 | Nivel Medio

La circunferencia mayor inscrita en un triángulo, se obtiene cuando el radio y el eje OX forman 45º y con la proyección en el eje OX tenemos un triangulo rectángulo isósceles. Al trazar las bisectrices se divide los ángulos en dos iguales es decir 22. 5º. La bisectriz del ángulo recto divide al ángulo y al lado opuesto en dos iguales es decir si R =1 la mitad 1/2. Se forma un triangulo rectángulo con un angulo agudo de 22. 5º y el cateto adyacente 1/2. Aplicando la definición de tangente, encontramos que el radio de la circunferencia inscrita vale:tg(45º/2)*1/2 = 0. 20710678

Hector Pabon
Ingenieria de sistemas universidad dis...
Escrito por Hector Pabon
el 05/11/2009 | Nivel Medio

Carlos: el centro de la circunferencia está en el incentro (es decir en el punto donde se encuentran las tres bisectrices) del triángo OAP y no del triángulo equilátero al que haces referencia. Inicialmente pensé algo parecido, pero creo que lo que pide Cecilia es el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo OAP. OK?


Hector Pabon
Ingenieria de sistemas universidad dis...
Escrito por Hector Pabon
el 05/11/2009 | Nivel Medio

Su razonamiento es correcto, si tomamos como hipótesis que el triángulo es isósceles, es decir que OA es congruente con PA, (OPA triángulo rectángulo isósceles).

Yo tomé una hipótesis errónea porque partí de un triángulo equilátero OPA (cuyos ángulos internos miden cada uno 60 grados), pero tomado de esta manera la circunferencia inscrita no es máxima. De manera que tienes toda la razón.

OK. Carlos. Tuve que hacer la construcción geométrica para tomar el detalle.

Saludos.