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Irracionalidad de la raiz cuadrada de 2

Marcos
Ciencias de la información upv. univer...
Escrito por Marcos Castillo Gimenez
el 10/04/2010

Hola a todos. Me he encontrado con una demostración de la irracionalidad de la raiz cuadrada de 2, y hay un pequeño detalle de la demostración que no consigo entender. El texto es el siguiente:
"(... ), damos ahora una segunda demostración mucho más corta de la irracionalidad de la raiz cuadrada de 2. Su prerrequisito es el teorema de la descomposición única en factores de los números enteros, y otro principio más que desarrollamos ahora.
Supongamos que un número entero positivo m se ha descompuesto en factores primos. Por ejemplo, si m=360, tenemos m=2 al cubox3 al cuadradox5. Nótese que el número primo 2 aparece tres veces, el 3 aparece 2 veces, y el 5 una vez.
Ahora si consideramos m al cuadrado, continuando con el ejemplo del número 360, en su descomposición en factores primos, 360 al cuadrado daría 2 a la sextax 3 a la cuartax5 al cuadrado: cada número primo aparece un número par de veces. Un poco de reflexión revela que este fenómeno siempre ocurrirá, ya que al elevar al cuadrado un número entero cualquiera doblamos el número de apariciones de sus números primos y la duplicación produce un resultado par.
Teorema. La raiz cuadrada de 2 es un número irracional
Demostración(por contradicción). Supóngase que raiz cuadrada de 2 es racional. Entonces existen unos números enteros a y b tal que raiz cuadrada de 2 es igual a a/b. Elevando al cuadrado ambos miembros y despejando, obtenemos 2b al cuadrado=a al cuadrado.
Consideremos la descomposición en factores primos de los dos miembros de la ecuación. En la parte derecha aparece a al cuadrado, cuadrado del número entero a. Por el principio anterior, sabemos que el número primo 2 debe existir un número par de veces en esta descomposición en factores, mientras que la parte izquierda contiene b al cuadrado y de nuevo el número primo 2 debe debe aparecer un número par de veces en la descomposición en factores de b. Pero el lado izquierdo es 2b al cuadrado, y por lo tanto debe contener un número impar de veces. Hemos llegado a la contradicción"
Mi pregunta es sencilla: ¿Por qué es el 2 el que aparece en esta supuesta descomposición en factores de a y b?.
Muchas gracias.
Marcos.

Cacho Rodríguez
Ingeniería electrónica universidad nac...
Escrito por Cacho Rodríguez
el 10/04/2010

Hola! Marcos.
Primero... Lo primero: ¿Entiendes la idea que al elevar al cuadrado un número entero cualquiera, el exponente de cada uno de los números primos que lo componen será "par" ?

O sea que -y utilizando el ejemplo dado- vemos que al elevar al cuadrado el número "360" se obtiene la siguiente descomposición en factores primos:

360² = 129600 = 2⁶ * 3⁴ * 5² ("6", "4" y "2" son "pares")
__________________

A partir de lo anterior "arranca" la demostración por el absurdo.

¿Y por qué "por el absurdo"...? Pues porque aceptamos como premisa de partida lo opuesto a lo que se quiere demostrar. Para el caso, aceptamos que "√2" es "racional".

¿Y que significa decir que un número es "racional"? Significa que existen dos números enteros (no conocemos cuales son esos números, pero que existen... ¡Existen! ) "a" y "b" tales que vale afirmar:

√2 = a / b ("a" entre "b")

Multiplica ambos miembros por "b":
√2 b = a

Eleva al cuadrado ambos miembros:
(√2 b)² = (a)² ⇒

2 b² = a²
__________________

Y razonas:
1º) TODOS los factores primos de "a²" están elevados a una potencia par

2º) TODOS los factores primos de "b²" están elevados a una potencia par

3º) 2 b² es un número por lo que puede descomponerse en sus factores primos.
Los factores primos de b² ya sabemos que tienen TODAS sus potencias elevadas a un número par, pero -en tal caso- el factor primo "2" estará elevado a una potencia "impar".

Tenemos, entonces, igualado un número (2 b²) que tiene a uno de sus factores primos elevado a una potencia impar, con otro número (a²) en donde TODOS sus factores primos están elevados a una potencia par ---> ABSURDO.

Y el ABSURDO provino de suponer inicialmente que "√2" es racional, de lo que se deduce que es "IRRACIONAL".

Espero que te haya sido de utilidad.
Saludos, Cacho.

Marcos Castillo Gimenez
Ciencias de la información upv. univer...
Escrito por Marcos Castillo Gimenez
el 11/04/2010

Hola Cacho. Primero gracias por responderme. Mi pregunta es: ¿Por qué aparece el dos en esta descomposición en factores de a y b?. En realidad entiendo la demostración en su conjunto, pero es la aparición del 2 lo que no entiendo. En esta descomposición en factores de a y b, ¿No podría aparecer el 3 o el 5, por ejemplo?.
Saludos a Argentina desde el Pais Vasco. Un saludo

Cacho Rodríguez
Ingeniería electrónica universidad nac...
Escrito por Cacho Rodríguez
el 11/04/2010

Mira, Marcos: el "2" aparece pues estás intentando demostrar que " √2 " es irracional.
De hecho, lo que no entiendes es a qué se llama "número racional".

Tu dificultad reside en comprender -en realidad- lo más sencillo. O sea lo siguiente:
_____________________

√2 = a / b ("a" entre "b")
(Ésta es la forma de decir -matemáticamente- que "
√2 " es racional. Recuerda que estamos demostrando por el absurdo y por ello aceptamos -exactamente- lo opuesto a lo que queremos demostrar)

Multiplica ambos miembros por "b":
√2 b = a

Eleva al cuadrado ambos miembros:
(√2 b)² = (a)² ⇒

2 b² = a²

_____________________

Por favor: trata de advertir que lo que va desde " √2 = a / b " hasta " 2 b² = a² " es un "sencillísimo" trabajo algebraico, sin ninguna "cosa rara"...

Re-lée toda mi explicación desde el comienzo y no pases de una idea a la siguiente sin haber comprendido -claramente- el concepto previo.

Si "algo" no lo entiendes: vuelve a analizarlo hasta comprender cada "mínimo" detalle.
Saludos, Cacho.

Marcos Castillo Gimenez
Ciencias de la información upv. univer...
Escrito por Marcos Castillo Gimenez
el 11/04/2010

Tenías razón, Cacho, no había leido bien tu explicación primera. Ahora que lo he leido bien, lo entiendo.
Saludos, Marcos.

Cacho Rodríguez
Ingeniería electrónica universidad nac...
Escrito por Cacho Rodríguez
el 11/04/2010

¡Wowwww! Brillante! ¡Me alegra!

Y... Hasta la próxima.
Saludos, Cacho.

Escrito por Martín Jaime De Alda Earle
el 27/03/2013

Debate interesante e instructivo, que auizá merezca algo de ampliación. Supongo que depende de la curiosidad de los participantes.

En realidad el concepto de número irracional, está ligado al de demostración matemática porque para identificar un número como irracional, hay que demostrarlo. Además como irracional es el número que NO es racional, pues las demostraciones deben ser por reducción al absurdo o por contraposición.

Bueno, para profundizar en el tema recomiendo este enlace, en el que se da cuenta de una NUEVA (del año 2000) demostración de la irracionlidad de raíz de 2 que al fin y al cabo pudiera no ser tan nueva, y además se incluyen enlaces a otras pruebas, entre ellas la que se comenta en este debate.

Https://parafernaliasmatematicas.blogspot.com. Es/2012/12/la-demostracion-de-apostol-de-la. Html

Espero que resulte interesante