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factorización

saul
Ingenieria de petroleo universidad de ...
Escrito por Saul Linares
el 21/07/2010

Aquí les dejo un problema de factorización para que amplien sus conocimientos en este tema tan interesante... Saludos.


81(x^4) -108(x^3)+108(x^2)-48x+16

Hector Pabon
Ingenieria de sistemas universidad dis...
Escrito por Hector Pabon
el 24/07/2010

Factorizado en el campo Complejo:

(1/3+780/1351i)(1/3 -780/1351i)(1/3+780/1351i)(1/3 -780/1351i ) donde i es la unidad imaginaria.

En el campo Real no tiene factorización.


Saul Linares
Ingenieria de petroleo universidad de ...
Escrito por Saul Linares
el 25/07/2010

Hola estimado amigo, ¿Y la variable?

Según Wikipedia:

".... En álgebra , la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original..."

En ese problema que propuse existen esos objetos mas pequeños, lo aseguro!

En otras palabras esa expresión es factorizable.

Hector Pabon
Ingenieria de sistemas universidad dis...
Escrito por Hector Pabon
el 25/07/2010

Sí... Tienes razón. Las anteriores son los ceros del polinomio, así que la factorización se puede expresar de la siguiente manera:

(x-1/3-780/1351i)(x-1/3 +780/1351i)(x-1/3-780/1351i)(x-1/3 +780/1351i )

Hector Pabon
Ingenieria de sistemas universidad dis...
Escrito por Hector Pabon
el 25/07/2010

Si tienes la ecuación de segundo grado: X^2 + 1 = 0, esta se puede expresar como:

(X + i)(X - i) = 0, tiene dos ceros la ecuación: cuando X + i = 0, en cuyo caso X = -i
y cuando X - i = 0, en tal caso, X = i

Saul Linares
Ingenieria de petroleo universidad de ...
Escrito por Saul Linares
el 26/07/2010

Ok, pero ese problema tiene otro tipo de factorización, imagina que queremos simplificarla, en otras palabras lo que te digo es que existe un polinomio de grado menor que divide exactamente a ese polinomio de cuarto grado, esa expresión es factorizable.

Hector Pabon
Ingenieria de sistemas universidad dis...
Escrito por Hector Pabon
el 26/07/2010

También se puede expresar como el producto de dos polinomios de grado dos, multiplicando primero dos factores y luego los otros dos. O también como un polinomio de grado tres y otro de grado 1.

Supongamos que multiplico: X^2 + 1 = 0 que tiene dos raíces complejas: (0 + i) y (0 - i) por X, se tendría pues: X^3 + X = X(X - i)(X + i) = 0
que también se podría expresar como (X^2 - Xi)(X + i) = 0

La expresión X^3 + X = X(X - i)( X + i) = 0, tiene tres raíces que corresponden al igualar cada uno de los factores a 0: X = 0 ; X = i ; X = -i

Saul Linares
Ingenieria de petroleo universidad de ...
Escrito por Saul Linares
el 27/07/2010

Ok, en la factorización de

81(x^4) -108(x^3)+108(x^2)-48x+16

Afirmo que No existen factores imaginarios, ¿Sera posible factorizar esta expresión sin utilizar factores imaginarios?

Saul Linares
Ingenieria de petroleo universidad de ...
Escrito por Saul Linares
el 27/07/2010

No veas el problema del debate como una ecuación, es solo una expresión a factorizar, observa que en el problema nunca iguale a cero.

Hector Pabon
Ingenieria de sistemas universidad dis...
Escrito por Hector Pabon
el 27/07/2010

Lo que escribes es una función polinómica.

Una función polinómica se escribe como:

p(x) = ax^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) +... +k, donde a es un numero diferente de cero.

Pero, si haces p(x) = 0, tienes una ecuación polinómica y los valores de x para los cuales p(x) = 0 se llaman ceros del polinomio.

Lo anterior se da en el estudio de anillos de polinomios.

Para los ceros del polinomio, puedes buscar en la red las reglas de Descartes.

Un polinomio puede tener todas las raíces reales, o todas complejas, o mixtas.

Un polinomio de grado n, tiene n raíces. Eso lo asegura Descartes.

Saul Linares
Ingenieria de petroleo universidad de ...
Escrito por Saul Linares
el 28/07/2010

Exacto, pero no deseo por ahora profundizar en ese tema, lo que quiero es ver la factorización de la expresión, pero no tan compleja... Algo sencillo y no un mostró de factorización.

Recuerde que aunque el resultado sea igual siempre la manera o forma, mas bien la elegancia en la respuesta prevalece y tiene peso.

Hector Pabon
Ingenieria de sistemas universidad dis...
Escrito por Hector Pabon
el 28/07/2010

Creo que no estamos hablando el mismo idioma... Pero, eso no importa. La matemática es una ciencia deductiva, y como tal, vamos encontrando por sí mismos muchas respuestas y conclusiones.

Saul Linares
Ingenieria de petroleo universidad de ...
Escrito por Saul Linares
el 29/07/2010

Voy a subir la resolución....

Javier Investigador
Pichincha, Ecuador
Escrito por Javier Investigador
el 31/07/2010

Este problema es factorizable EN LOS PROXIMOS DIAS subire la respuesta es muy simple es polinomio de grado cuatro , el problema esta que tiene algun artifio que hay que descubrir en cualquier momento lo descubro


Saul Linares
Ingenieria de petroleo universidad de ...
Escrito por Saul Linares
el 31/07/2010

Exactamente amigo JAVIER, bueno te voy a dar un tiempo.... Aun no voy a subir la solución, espero que tengas exitos.

Bero Oremall
Artes plasticas universidad nacional d...
Escrito por Bero Oremall
el 03/08/2010

Puede ser con el metodo de ruffini o sacando factor comun

Saul Linares
Ingenieria de petroleo universidad de ...
Escrito por Saul Linares
el 03/08/2010
Hola amiga BERO, me temo que el método de ruffini no es aplicable a este problema.
Lisbeth Sintura Olaya
Cundinamarca, Colombia
Escrito por Lisbeth Sintura Olaya
el 04/08/2010

Hola... Creo que voy a necesitar ayuda, voy a empezar a ver Algebra y por lo visto no es nada fácil.

Saul Linares
Ingenieria de petroleo universidad de ...
Escrito por Saul Linares
el 04/08/2010

Estamos a la orden.... LISBETH

Hector Pabon
Ingenieria de sistemas universidad dis...
Escrito por Hector Pabon
el 04/08/2010
La factorización es:

SOLUCIÓN:

(9X^2 - 6x + 4)^2

Lo mismo que: (9X^2 - 6x + 4)(9X^2 - 6x + 4)

Pero, estos dos factores se pueden factorizar en el campo complejo, de ahí que aparecen unidades imaginarias.

Como en el ejemplo dado arriba: X^2 + 1 no es factorizable en el campo real pero, SI en el complejo, de la siguiente manera:

X^2 + 1 = (X+ i)(X -i)

OK?

Los dos factores: (9X^2 - 6x + 4)(9X^2 - 6x + 4) SI se pueden factorizar en el campo complejo, de ahí las respuestas sugeridas anteriormente.