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Foro de Matemáticas



Ecuaciones Radicales

hernan enrique
Ingenieria en auditoria espol (escuela...
Escrito por Hernan Enrique Ayala Rocafuerte
el 27/01/2011

Hola nuevamente tengo una pregunta para la comunidad matematica estudiosa y es la siguiente: la ecuacion radical cubica de la forma:

(b1x+b0)^(1/3)+(c1x+c0)^(1/3)+d0=0; con b's, c's y d0 pertenecientes a los reales con ecepción de b1 y c1 que no pueden ser cero y tampoco c1=-1 ¿Por que? Y x es variable independiente.

Se la resuelve mediante la sustitución: u^3=b1x+b0 quedando una ecuación cubica auxiliar en términos de u...

La pregunta es ¿Creen uds que éste es el único método analitico (no numerico) para resolver esta ecuación radical cubica?


HALCON
Escrito por HALCON
el 28/01/2011

Si u^3=b1x+b0 , ¿A qué se iguala c1x+c0?

Hernan Enrique Ayala Rocafuerte
Ingenieria en auditoria espol (escuela...
Escrito por Hernan Enrique Ayala Rocafuerte
el 28/01/2011

Bueno reemplazando esto tendriamos: c1x+c0=(c1/b1)u^3-(c1b0/b1)+c0; por lo tanto al reemplazar en la ecuación original tendriamos la ecuación en u a saber:

U+(c1/b1)u^3-(c1b0/b1)+c0)^(1/3)+d0=0 y realizando algebra sencilla notamos que la ecuacion resultante (resolvente) es una ecuacion cubica en terminos de u y al resolverla reemplazamos el valor de u en la ecuacion auxiliar en x y obtenemos la/s respuestas obviamente como es de esperarse podrian haber soluciones falsas y habria que comprobarlas reemplazando en la ecuacion original, espero haber despejado tu duda Halcon.

Hasta pronto.

HALCON
Escrito por HALCON
el 29/01/2011

Hernán, gracias por tu respuesta, pero a ver...

Si u^3 = b1x+b0 , sustituimos y simplificamos

(b1x+b0)^(1/3)+(c1x+c0)^(1/3)+d0=0;

u + (c1x+c0)^(1/3)+d0=0;

(c1x+c0)^(1/3) = - (u + d0)

Elevando al cubo ambos términos

c1x + c0 = - (u + d0)^3

En términos de u

u + (u + d0)^3 + d0 = 0

Vamos comparando Hernán porque a esto obedece mi interrogante.

Saludos.


Hernan Enrique Ayala Rocafuerte
Ingenieria en auditoria espol (escuela...
Escrito por Hernan Enrique Ayala Rocafuerte
el 29/01/2011

Bueno la verdad es que te faltó sustituir el verdadero valor de c1x+c0 en términos de u a saber: c1x+c0=(c1/b1)u^3-(c1b0/b1)+c0, y entonces tendriamos:

(c1/b1)u^3-(c1b0/b1)+c0 = - (u + d0)^3 que como te puedes dar cuenta es una ecuación cúbica en u... Y si quieres la desarrollas pero tendrás que llegar a la ecuación cúbica de la forma:

(c1'+1)u^3+3d0u^2+3(d0)^2u+d0^3+c0-c1'b0=0; con c1'=c1/b1.

Resolviendo ésta ecuación cubica resolvemos para x:

b1x+b0=u^3 y obtenemos el conjunto que contiene al conjunto solución de x.

Hernan Enrique Ayala Rocafuerte
Ingenieria en auditoria espol (escuela...
Escrito por Hernan Enrique Ayala Rocafuerte
el 29/01/2011

Pero hay otra manera completamente diferente es decir nada parecido y se derivan otras fórmulas completamente diferentes, pero asombrosamente dan con la solucion exacta, ¿Sabes de alguna otra forma diferente de resolver el mismo problema?

Elmer Soto
Lima, Perú
Escrito por Elmer Soto
el 30/01/2011

B1 y c1 no pueden ser 0 ambos a la vez porque se anularia la variable x , pero c1 si puede ser -1
ejemplo:
(x+1)^(1/3)+(-x+1)^(1/3)-2=0
solución x=0

Saludos Elmer

HALCON
Escrito por HALCON
el 30/01/2011

Muy bueno Elmer tu ejemplo. Ya es un caso particular de ecuación y ha dejado de ser general. En efecto, puede tomar c1 el valor de -1, ya que no hay restricción en el problema de Hernán de que b1 sea desigual a b0, y c1 sea desigual a c0 o las combinaciones que resulten.

Y por inspección visual se resuelve dicha ecuación que planteas. Te felicito por el planteamiento de esa ecuación porque lograste su igualdad sin algún método analítico, o numérico.

Ahora, me gustaría que con la sustitución de Hernán: u^3=b1x+b0 se resolviera tu ecuación propuesta que está majestuosa.

HALCON
Escrito por HALCON
el 30/01/2011

O vamos resolviendo con el planteamiento de Hernán la siguiente ecuación sujeta a la restricción que plantea:

( x + 2 )^3 + ( 3x + 4 )^3 + 5 = 0

HALCON
Escrito por HALCON
el 30/01/2011

Debe ser a la 1/3 el exponente de cada binomio.


Elmer Soto
Lima, Perú
Escrito por Elmer Soto
el 31/01/2011

Antes de seguir resolviendo quiero mencionar
La ecuación
(b1x+b0)^(1/3)+(c1x+c0)^(1/3)+d0=0
si u^3=b1x+b0
se obtiene la ecuación cúbica de la forma mencionado por Hernán:
(c1'+1)u^3+3d0u^2+3(d0)^2u+d0^3+c0-c1'b0=0; con c1'=c1/b1

Pero para obtener esto una ecuación fue elevando al cubo como lo menciona Halcon, ello genera más soluciones que no cumplirán la ecuación inicial

Ejemplo:
x=1
x^3=1
x^3-1=0
(x-1)(x^2+x+1)=0
Soluciones:
x1=1
x2=(-1+3^(1/2))/2
x3=(-1-3^(1/2))/2



Elmer Soto
Lima, Perú
Escrito por Elmer Soto
el 31/01/2011

Resolviendo

(x+1)^(1/3)+(-x+1)^(1/3)-2=0

La ecuación
(b1x+b0)^(1/3)+(c1x+c0)^(1/3)+d0=0
si u^3=b1x+b0
se obtiene la ecuación cúbica de la forma mencionado por Hernán:
(c1'+1)u^3+3d0u^2+3(d0)^2u+d0^3+c0-c1'b0=0; con c1'=c1/b1

b1=1,b0 =1, c1=-1, c0=1, d0=-2, c1’=-1

(0)u^3-6u^2+12u-6=0

u^2-2u+1=0

u1=1

u2=1

x=(u^3-b0)/b1

x=0

Lo comprobamos en la ecuación inicial y cumple

Elmer Soto
Lima, Perú
Escrito por Elmer Soto
el 31/01/2011

Resolviendo

( x + 2 )^(1/3) + ( 3x + 4 )^(1/3) + 5 = 0

La ecuación
(b1x+b0)^(1/3)+(c1x+c0)^(1/3)+d0=0
si u^3=b1x+b0
se obtiene la ecuación cúbica:

(c1'+1)u^3+3d0u^2+3(d0)^2u+d0^3+c0-c1'b0=0; con c1'=c1/b1

b1=1,b0 =2, c1=3, c0=4, d0=5, c1’=3

4u^3+15u^2+75u+123=0 (Esto es un poco laborioso usare el programa matemática)

u1=-2. 01584…. (fata decimales)

u2=-0. 867082+3. 8082

u3=-0.867082-3.8082

x=(u^3-b0)/b1

x1=-10. 1916

x2=35. 0723 -46. 6386

x3=35. 0723 +46. 6386

Lo comprobamos en la ecuación inicial y ninguno hace la ecuación cero los resultados son:

7. 5 +4. 33013

14. 096 -2. 8283

14. 096 +2. 8283

No hay solución

(Esto también lo comprobé con el programa matemática y no me arroja ninguna solución para la ecuación inicial)

Llegado aquí descubrí otro tema interesante a tratar lo mencionare en otro momento

Saludos

Elmer

Hernan Enrique Ayala Rocafuerte
Ingenieria en auditoria espol (escuela...
Escrito por Hernan Enrique Ayala Rocafuerte
el 31/01/2011

Elmer saludos la restricción que puse de que c1e R-{0,-1} es para un método diferente que tiene fórmas y fórmulas distintas al que estamos desarrollando... Cuando c1=-1 nos podemos dar cuenta por operación retina que la variable cúbica en x se anularía y no necesitaríamos hacer la sustitución en la variable u... , de otro modo la sustitución en u está completamente justificada.

Con respecto al último ejercicio que desarrollaste con el software mathematica te cuento que el mathematica te saca la raiz cúbica de un numero negativo igual a una cantidad imaginaria, pero si tenemos cuidado podemos hacer que el mathematica nos dé el valor real de la raiz cúbica de un número negativo, en tu ejemplo al reemplazar la primera raiz x1=-10. 1916 la ecuación sí se cumple pero usando una calculadora... Adicionalmente te comento que tambien me he dado cuenta de que el mathematica no resuelve este tipo de ecuaciones siempre aunque algunas veces sí.

Pero me gustaria si es posible que tanto tu Elmer como Halcon me digan si saben de otro mecanismo analítico de resolver el mismo problema, actualmente estoy tratando de resolver otro que tiene dos radicales más pero admito que se me ha hecho más dificil que el que tiene dos...

Saludos y mucha suerte!

HALCON
Escrito por HALCON
el 31/01/2011

¡Felicidades a Elmer y a ti Hernán! Vaya que tipo de ecuaciones ha generado Hernán. Muy buenas. Y que procedimiento has desarrollado Elmer, muy bueno también.

Resolviste la ecuación que escribí. Gracias.

Sí, Hernán, el de tres o cuatro radicales es más complicado que el de dos.

Déjenme meterme de lleno para poder coolaborar con un poquito.

Saludos a los dos.

Hernan Enrique Ayala Rocafuerte
Ingenieria en auditoria espol (escuela...
Escrito por Hernan Enrique Ayala Rocafuerte
el 31/01/2011

Ok gracias Halcon esperaré con paciencia tu colaboración y si me sale bien el de cuatro radicales tambien se los comunicaré en su momento.

Saludos

Elmer Soto
Lima, Perú
Escrito por Elmer Soto
el 01/02/2011

Hola

Hernán lo que mencionas que mathematica te saca la raíz cúbica de un numero negativo igual a una cantidad imaginaria, es correcto y me parece bien esta normalización.

Ejemplo
(-1)^(1/3) =

(-1)=1e^(k*180* i) esta es la forma polar donde i=(-1)^(1/2) y K =1,3,5,7...

(-1)^(1/3) =1e^(k*180* i)/3)
(-1)^(1/3) =1e^(k*60* i)
Para k=1 , (-1)^(1/3) =1e^(60* i) = cos 60 + i sen 60=1/2+i(3^(1/2))/2
Para k=3 , (-1)^(1/3) =1e^(180* i) = cos 180 + i sen 180=-1
Para k=5 , (-1)^(1/3) =1e^(300* i) = cos 300 + i sen 300=-1/2-i(3^(1/2))/2
.... Para los demás valores de k es resultado se vuelve a repetir
Matemática da la respuesta para k=1
Un operador debe dar una respuesta o sea (-1)^(1/3) debe dar una respuesta sino crearía confusión. Pero esto es cuestión de definición.

Pero si utilizamos una hoja de cálculo como Excel (-1)^(1/3)=-1 Excel solo trabaja con números reales. Ello se debe normalizarse si no está normalizado.
Recuerdo que en un libro que trata números complejo leí que una raíz enésima da n soluciones, pero ello contradice que un operador debe dar una sola respuesta, pero todo esto es cuestión de indagar las definiciones al respecto.

Saludos
Elmer

Hernan Enrique Ayala Rocafuerte
Ingenieria en auditoria espol (escuela...
Escrito por Hernan Enrique Ayala Rocafuerte
el 01/02/2011

Hola Elmer muy interesante tu explicación sobre la raiz cubica de un número negativo, pero como tu sabes para comprobar el ejercicio y en concreto el valor de x1=-10. 1916, usamos el resultado real y podemos corroborar que dicho valor de x si es solución (aunque aproximada... ) del ejercicio planteado.

Saludos.

Hernan Enrique Ayala Rocafuerte
Ingenieria en auditoria espol (escuela...
Escrito por Hernan Enrique Ayala Rocafuerte
el 01/02/2011

Elmer pilas con tu tema que descubriste me gustaria conocerlo...

HALCON
Escrito por HALCON
el 01/02/2011

Hernán recibe un saludo compañero mio. Una pregunta fuera de foco: ¿Qué significa "pilas con tu tema"? Supongo que en Ecuador tiene un significado distinto que en México.

De antemano agradezco tu respuesta.