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Foro de Matemáticas



Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

masgdalena
Maestra de educacion primaria escuela ...
Escrito por Masgdalena Cruz
el 26/02/2011

Buen dia; necesito me ayude a encontrar soluciones en problemas de valor inicial; llevo una clase de ecuaciones diferenciales y no se como como encontrar la solucion al siguiente PVI
3y''' +5y''-y'+7y=0 y(1)=0, y'(1)=0 y''(1)=0



Por favor cual es el procedimiento que hago con esas condiciones y cual es la solucion a ese problema de valor inicial.

Gracias.

Cacho Rodríguez
Ingeniería electrónica universidad nac...
Escrito por Cacho Rodríguez
el 26/02/2011

Hola! Masgdalena.
¿Estás segura que el término "7y" que has publicado, no es -en realidad "2y"?...

Saludos, Cacho.

Masgdalena Cruz
Maestra de educacion primaria escuela ...
Escrito por Masgdalena Cruz
el 26/02/2011

Buenas tardes ingeniero me alegra saludarle. Si es 7y ( siete ye) bueno el problema de valor inicial que me dan es:


3y'''+ 5y''-y'+7y=0 , y(1)=0 , y/'1)=0 ,y''(1)=0


en palabras seria la tercer derivada de tres ye mas la segunda derivada de cinco ye mas siete ye igual a cero con las condiciones ye uno igual cero ye prima igual cero y ye biprima igual a cero gracias por su atencion Bendiciones!

Cacho Rodríguez
Ingeniería electrónica universidad nac...
Escrito por Cacho Rodríguez
el 27/02/2011

Te comento la razón de mi re-pregunta: la solución a una ecuación diferencial como la que planteas, parte de hallar las raíces de su "ecuación característica" que -en esta oportunidad- es:

3s³ + 5s² - s + 7 = 0
(nota que los coeficientes de este polinomio son los mismo de la ecuación diferencial)

Este polinomio tiene:

a) Una raíz real negativa (llamémosla "-c")
b) Dos raíces complejas conjugadas (llamémoslas "a+iw" y "a-iw")
_____________________

A partir de lo anterior, la solución general de la ecuación diferencial es:

y(t) = E*e^(-ct) + [e^(a)]*[F*cos(wt) + G*sen(wt)]
con
E, F y G : parámetros dependientes de las condiciones iniciales.
_____________________

Y aquí me detengo: "c, a y w" derivan -habíamos indicado- de obtener las raíces de la ecuación característica.
Pues bien: ocurre que las expresiones analíticas de esos 3 parámetros son -decididamente- desagradables y difíciles de obtener.

Por lo tanto -considero- que su resolución no aporta nada a la cuestión del aprendizaje y sólo representa una complejidad numérica -francamente- innecesaria.

Por ello te hacia la pregunta anterior ya que, si aquella variante hubiese sido factible, la solución -qué aún tendría una estructura como la señalada- sería, sin embargo, más sencilla de ilustrar.
_____________________

Lógicamente los valores de E, F y G se obtienen utilizando las condiciones iniciales brindadas, o utilizando la siguiente simplificación:

Definimos la función auxiliar "H" del siguiente modo:

H(t) = y(t + 1)

¿Por qué? Pues nota lo siguiente:

y(1) = H(0)
y'(1) = H'(0)
y''(1) = H''(0)

De este modo, si calculamos la expresión

E*e^(-ct) + [e^(a)]*[F*cos(wt) + G*sen(wt)]

en "0" (pues esta cuenta es mucho más sencilla, claro está), al igual que sus derivadas, obtendremos la función H(t).

Y pasar de H(t) a "y(t) = H(t-1)" es tan sólo un trámite.

Saludos, Cacho.

Masgdalena Cruz
Maestra de educacion primaria escuela ...
Escrito por Masgdalena Cruz
el 27/02/2011

Agradesco mucho su ayuda, pero lo que yo quisiera saber es como encuentro la solucion? Cual es el procedimiento, que operacion empleo. Ing. Citare textual mente lo que aparece en mi libro, es de: Dennis G. Zill y Michael R. Cuillen en la unidad de ecuaciones diferenciales de orden superior sub -seccion Problemas de valor inicial y de valor en la frontera.

Solucion Unica de un PVI

El problema de valor inicial

3y'''+ 5y''-y'+7y=0 , y(1)=0 , y'1)=0 ,y''(1)=0

Posee la solucion trivial y=0 Dado que la ecuacion de tercer orden es lineal con coeficientes constantes, por lo tanto y=0 sera la unica solucion en el intervalo que contega x=1


Entonces ing. Lo que no entiendo es como el libro llega a la conclusion que y=0 es la solucion de PVI como lo hacen? No lo se agradecere su ayuda Saludos.
Elsy.!

Cacho Rodríguez
Ingeniería electrónica universidad nac...
Escrito por Cacho Rodríguez
el 27/02/2011

SIEMPRE es así en las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Verifica:
y(t) = 0

Derivamos:
y'(t) = 0 [obvio: la derivada de una constante es nula]

Derivamos:
y''(t) = 0 [misma obviedad]

Derivamos:
y'''(t) = 0
__________________________

Reemplaza ahora esta solución trivial en la ecuación de partida:

3y''' + 5y' ' -y' + 7y = 0 ----> [reemplazamos]

3*0 + 5*0 - 0 + 7*0 = 0 ---->
0 + 0 - 0 + 0 = 0 ---->
0 = 0
__________________________

Demás está decir (ya te habrás dado cuenta) que en la solución trivial se cumple:

y(1) = y'(1) = y''(1) = 0
__________________________

Saludos, Cacho.

Masgdalena Cruz
Maestra de educacion primaria escuela ...
Escrito por Masgdalena Cruz
el 27/02/2011

Siiiiiiiii gracias admiro su intelecto bendiciones me hizo de mucha ayuda Saludos.

Cacho Rodríguez
Ingeniería electrónica universidad nac...
Escrito por Cacho Rodríguez
el 27/02/2011

¡Pero que buena noticia!... Hasta la próxima.

Masgdalena Cruz
Maestra de educacion primaria escuela ...
Escrito por Masgdalena Cruz
el 03/03/2011

Ing. Buenas noches necesito de su ayuda de nuevo.
como hago para encontrar la longitud de un lago, unicamente tomando en cuenta el eco de mi grito el cual se oye 2. 0sdespues del mismo
estoy rstudiando caracteristicas del sonido en fisica como referencia

Saludos

Cacho Rodríguez
Ingeniería electrónica universidad nac...
Escrito por Cacho Rodríguez
el 03/03/2011

Imagina un lago con forma de "L" y tú ubicada en un extremo del mismo.

No comprendo que dato cierto pueda representar que recibas el eco de un grito 2 s después del mismo, pues me parece azaroso el punto de "rebote" del sonido.

Saludos, Cacho.

Masgdalena Cruz
Maestra de educacion primaria escuela ...
Escrito por Masgdalena Cruz
el 03/03/2011

El preoblema dice:
Un excursionista determina longitud de un lago escuchando el eco de su grito reflejado por un acantilado en el extremo lejano del lago. Ella olle el econ 2. 0s despues del grito
Estime la longitud del lago.
Saludos.

Cacho Rodríguez
Ingeniería electrónica universidad nac...
Escrito por Cacho Rodríguez
el 04/03/2011

De modo que:

a) Desde un extremo del lago se emite un sonido
b) El sonido recorre el lago hasta que rebota en el acantilado
c) Y tras el rebote, el sonido retorna al excursionista.

Suponiendo que la longitud del lago sea "L", te pregunto tres cosas:

-> ¿Qué distancia -consideras- que recorrió el sonido desde que fue emitido hasta que "volvió"?

-> ¿Tienes el dato de la velocidad del sonido en el aire?

-> ¿Qué tipo de movimiento estamos analizando? ¿MRU ó MRUA?

Saludos, Cacho.